Отрицательная степень под знаком корня

§ Квадратный корень. Кубический корень. Дробная степень

степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени. Запишем через знак корня это выражение. Знаменатель дробной степени отправляется на корень, а числитель падает вниз на число. корень,дробная . Почему корень нечетной степени можно извлечь из отрицательного числа, степени) будет положительным, вне зависимости от его исходного знака.

Наибольшего значения функция не имеет, так как ординаты кривой увеличиваются беспредельно. Предположим сначала, что а есть число положительное. Для сравнения мы поместили на том же чертеже прерывистой линией еще график функции: Вследствие этого все такие кривые имеют общий характер: Все такие кривые называются параболамми.

Предположим теперь, что коэффициент а будет число отрицательное. Сравнивая эту функцию с такой: Если зависимость между двумя переменными величинами у и х выражается равенством: Правило знаков при возвышении в степень. Значит, от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а от возвышения его в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.

Возвышение в степень произведения, степени и дроби. Рассмотрим, как при изменении возвышаемого числа изменяется куб его напр. Значит, функция эта увеличится тогда на 0, Для этого предварительно составим таблицу значений этой функции, напр.

Для отрицательных значений х получатся для у те же часла, которые указаны в этой таблице, только со знаком —. Построим теперь точки, соответствующие взятым значениям х и. Вследствие того, что ординаты у растут значительно быстрее абсцисс, удобнее на чертеже взять для ординат единицу длины меньшую, чем для абсцисс. Тогда, конечно, кривая окажется сжатою в вертикальном направлении. Возьмем такие две функции: Графики их изображены для сравнения на одном и том же чертеже. Основные свойства извлечения корня.

Обозначив сторону искомого квадрата буквою х смполучим такое уравнение: Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено во вторую степень, дает в результате Такое число называется корнем второй степени из Отрицательное число — 8 для нашей задачи не годится, так как сторона квадрата должна выразиться обыкновенным арифметическим числом. Как велико ребро этого куба, если известно, что 1 куб.

Пусть длина ребра куба будет х см.

Корень степени n: основные определения

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено в третью степень, составляет Такое число называется корнем третьей степени из Значит, ребро куба, о котором говорится в задаче, имеет длину в 5 см. Корнем второй степени или квадратным из числа а называется такое число, которого квадрат равняется. Корнем третьей степени кубичным из числа а называется такое число, которого куб равняется. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.

График квадратичной функции даёт два корня: Типа у четвёрки сразу два корня? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?: В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный.

И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y, то есть не принимает отрицательных значений. Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем: Так мы избавляемся от неоднозначности. Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа Из этого графика можно сделать два вывода: Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и.

Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной отсутствует требование неотрицательности. Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Отрицательная степень | Алгебра

Да, я не спорю: И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях: Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Запишем это свойство в виде формулы: О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике.

Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений то есть уравнений, содержащих знак радикалаученики дружно забывают эту формулу. Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом: Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают.

Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий: Сначала число возводится в четвёртую степень.

Степень с отрицательным показателем

Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти; И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Раберёмся с первым выражением: Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем: Дальше вновь извлекаем корень: В противном случае корень не определён.

Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем. Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей. Вынесение минуса из-под знака корня Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных.

  • Квадратный корень
  • 6. Степень с отрицательным показателем. Правила
  • Корни и степени

Теперь не нужно переживать: И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными.

Арифметический корень Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы: Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Например, правило возведения в степень: Почему мы не могли сделать это раньше?